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公众号：摆渡考研工作室 科 目：数学
知识点：平面方程
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今天介绍一下平面方程，考研足够了
1. 平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做平面的法线向量
即平面上的任一向量均与该平而的法线向量垂直.
一个平面П上一点 M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) 和它的一个法线向量 n=(A, B, C) 为已知时,位置就完全确定了,下面我们来建立平面方程:
设M(x, y, z)是平面П上的任一点则向量 \overrightarrow{M_{0} M}必与平面П的法线向量 n 垂直,即它们的数量积等于零
n \cdot \overrightarrow{M_{0} M}=0 \\
因为
n=(A, B, C)\\\overrightarrow{M_{0} M}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right) \\
所以有
A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 \\
上式即为平面方程。
求过点 (2,-3,0) 且以 n=(1,-2,3) 为法线向量的平面的方程
解: 根据平面的,点法式方程
A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 \\
得所得平面的方程为
(x-2)-2(y+3)+3 z=0 \\
即
x-2 y+3 z-8=0 \\
2. 平面的一般方程
设有三元一次方程
A x+B y+C z+D=0(1) \\
我们任取满足该方程的一组数 x_{0}, y_{0}, z_{0}, 即
A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D=0 \\
把上述两等式相减,得
A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0(2) \\
其中,方程(1)称为平面的一般方程。其中, x, y, z 的系数就是该平面的一个法线向量 n 的坐标.即 n= (A, B, C)
方程
3 x-4 y+z-9=0 \\
表示一个平面, n=(3,-4,1) 是这平面的一个法线向量.
求通过 x 轴和点 (4,-3,-1) 的平面的方程.
解:由于平面通过 x 轴.从而它的法线向量垂直于 x 轴,于是法线向量在 x 轴上的投影为零,即 A=0;又由平面通过 x 轴,它必通过原点,于是 D=0 .
因此可设这平面的方程为
B y+C z=0 \\
又因这平面通讨点(4,-3,-1),所以有
-3 B-C=0 \Rightarrow C=-3 B \\
以此代入所设方程并除以 B(B \neq 0),役得所求的平面方程为
y-3 z=0 \\
往期知识点-数学篇
列1
1.映射
4.函数极限性质
7.极限存在准则
10.微分中值定理
13.曲率
16.分布积分法
19.无界函数审敛法
列2
2.函数特性
5.连续性与间断点
8.高阶导|莱布尼茨
11.洛必达法则
14.不定积分理解
17.不定积分技巧
20.微分方程基础篇
列3
3.数列收敛
6.最值|介值|零点
9.参数与隐函数
12.泰勒公式
15.换元积分法
18.反常积分审敛法
21.微分方程进阶篇 |
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发表于 2022-9-21 01:56:18