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（以下均在空间直角坐标系内讨论）
平面方程
一般方程
Ax+By+Cz+D=0
截距式
\frac{x}{a} +\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1
三点式
\begin{vmatrix} x & y & z & 1\\ x_1 & y_1 & z_1 &1 \\ x_2 & y_2 & z_2 &1 \\ x_3 & y_3 & z_3 &1 \end{vmatrix}=0
点位式
\begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ X_1 & Y_1 & Z_1 \\ X_2 & Y_2 & Z_2 \\ \end{vmatrix}=0
其中，点 A(x_0,y_0,z_0) ，向量 \vec{a_i}=(X_i,Y_i,Z_i),(i=1,2) 在平面内
点法式
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0
<hr/>直线方程
一般方程
\left\{\begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{matrix}\right.
标准方程（对称式）
\frac{x-x_0}{X}=\frac{y-y_0}{Y}=\frac{z-z_0}{Z}
参数方程
\left\{\begin{matrix} x=x_0+Xt \\ y=y_0+Yt \\ z=z_0+Zt \end{matrix}\right.
其中 t 是参数
<hr/>距离
平面与点
d=\frac{\left| Ax_0+By_0+Cz_0+D \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
直线与点
d=\frac{|\vec{a}\times \overrightarrow{OA}|}{|\vec{a}|} = \frac{\sqrt{ \begin{vmatrix} Y-y_0 & Z-z_0 \\ Y & Z \\ \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} Z-z_0 & X-x_0 \\ Z & X \\ \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} X-x_0 & Y-y_0 \\ X & Y \\ \end{vmatrix}^2}}{\sqrt{X^2+Y^2+Z^2} }
\vec{a} 是直线的方向向量
直线与直线
d=\frac{|\overrightarrow{M_1M_2}\cdot(\vec{v_1}\times\vec{v_2})| }{|\vec{v_1}\times\vec{v_2}|}=\frac{\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 &z_2-z_1 \\ X_1 & Y_1 &Z_1 \\ X_2 & Y_2 &Z_2 \end{vmatrix}}{\sqrt{ \begin{vmatrix} Y_1 & Z_1 \\ Y_2 & Z_2 \\ \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} Z_1 & X_1 \\ Z_2 & X_2 \\ \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} X_1 & Y_1 \\ X_2 & Y_2 \\ \end{vmatrix}^2}}
其中点 M_i(x_i,y_i,z_i) 在直线 \frac{x-x_i}{X_i}=\frac{y-y_i}{Y_i}=\frac{z-z_i}{Z_i} 上 (i=1,2) ， \vec{v_i} 是直线的方向向量
<hr/>角度
均以 \theta 表示
直线与直线所成角
直线 l_i:\frac{x-x_i}{X_i}=\frac{y-y_i}{Y_i}=\frac{z-z_i}{Z_i},i=1,2
\theta=arccos\frac{X_1X_2+Y_1Y_2+Z_1Z_2}{\sqrt{X^2_1+Y^2_1+Z^2_1}\sqrt{X^2_2+Y^2_2+Z^2_2}}
直线与平面所成角
直线 l:\frac{x-x_0}{X}=\frac{y-y_0}{Y}=\frac{z-z_0}{Z}
平面 \pi:Ax+By+Cz+D=0
\theta=arccos\frac{|AX+BY+CZ|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}}
二面角
平面 \pi_i:A_ix+B_iy+C_iz+D_i=0
\theta=arccos\frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{A^2_1+B^2_1+C^2_1}\sqrt{A^2_2+B^2_2+C^2_2}}
<hr/>位置关系
平面与平面
\pi_i:A_ix+B_iy+C_iz+D_i=0
香蕉： A_1:B_1:C_1\ne A_2:B_2:C_2
平行： \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne \frac{D_1}{D_2}
重合： \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}= \frac{D_1}{D_2}
直线与平面
l:\frac{x-x_0}{X}=\frac{y-y_0}{Y}=\frac{z-z_0}{Z}
\pi:Ax+By+Cz+D=0
相交： AX+BY+CZ\ne0
平行： AX+BY+CZ=0,Ax_0+By_0+Cz_0+D\ne0
直线在平面内： AX+BY+CZ=0,Ax_0+By_0+Cz_0+D=0
直线与直线
l_i:\frac{x-x_i}{X_i}=\frac{y-y_i}{Y_i}=\frac{z-z_i}{Z_i},i=1,2
异面： \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ X_1 & Y_1 & Z_1 \\ X_2 & Y_2 & Z_2 \\ \end{vmatrix}\ne0
相交： \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ X_1 & Y_1 & Z_1 \\ X_2 & Y_2 & Z_2 \\ \end{vmatrix}=0，X_1:Y_1:Z_1\ne X_2:Y_2:Z_2
平行： X_1:Y_1:Z_1=X_2:Y_2:Z_2\ne (x_2-x_1):(y_2-y_1):(z_2-z_1)
重合： X_1:Y_1:Z_1=X_2:Y_2:Z_2= (x_2-x_1):(y_2-y_1):(z_2-z_1) |
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发表于 2022-12-9 23:01:43