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预备知识 矢量内积， 简谐振子
我们先来看一个一维的平面波， 一个常用的例子是一根无限长的弦， 静止的时候弦与 x 轴重合， 任何时刻 t， 弦的波函数（即形状）可以用 y(x, t) 来描述． 若
\begin{align}&y(x, t) = A \cos\left(k x - \omega t + \varphi_0\right)&(1)\\\end{align}
则我们把这个波函数称为平面波， 如图 1 所示1．
图 1：平面波
我们定义图中的 A 为振幅， 定义一个周期2为波长， 记为 \lambda． 与波长一一对应的一个量是式 1 中的 k， 称为波数． 波长与波数的关系可以类比简谐振子 的角频率 \omega 与周期 T 的关系， 即
\begin{align}&k = \frac{2\pi}{\lambda}&(2)\\\end{align}
我们再来看波函数随时间的变化， 如果在弦的某个位置做一个标记并观察其运动， 则式 1 中 x 可视为常数， 我们立即得到一个简谐振动， 角频率为 \omega， 初相位为3 -kx - \varphi_0．
我们在观察平面波的时候， 通常会想象它在移动（虽然弦上每个点的 x 坐标并不改变）， 我们把这种移动的速度叫做波速 v． 把式 1 稍作整理得
\begin{align}&y(x, t) = A\cos \left[k \left(x - \frac{\omega}{k} t \right) + \varphi_0 \right]&(3)\\\end{align}
由于函数 f(x - x_0) 可以看做 f(x) 向 x 轴正方向平移 x_0 得到的函数， 上式也可以看做 t = 0 时刻的波函数向 x 轴正方向平移 \omega t/k 得到的波函数． 将平移距离除以 t 就得到了单位时间移动的距离， 即波速
\begin{align}&v = \frac{\omega}{k}&(4)\\\end{align}
如果将 \omega = 2\pi/T 和 k = 2\pi/\lambda 代入上式， 得到波速的另一个表达式
\begin{align}&v = \frac{\lambda}{T}&(5)\\\end{align}
这里的 T 是振动周期． 也可以令振动频率 f = 1/T， 则上式又变为
\begin{align}&v = \lambda f&(6)\\\end{align}
横波与纵波
以上我们看到的波函数表示横波， 即质点振动的方向与波的传播方向垂直． 与横波相对的另一类波叫做纵波， 即质点振动方向与波的传播方向相同． 纵波的波函数与横波相同， 只是函数值的意义由垂直方向的位移改为了平行方向的位移（不妨记为 \xi）
\begin{align}&\xi = A \cos\left(k x - \omega t + \varphi_0\right)&(7)\\\end{align}
二维和三维的平面波
图 2：二维平面波
如图 2 ， 我们可以用函数 z(x,y,t) 表示一个二维的平面波（横波）． 波长的定义与一维情况相同， 在 k = 2\pi/\lambda 的基础上， 我们定义波矢 \boldsymbol{\mathbf{k}} 的方向为波速的方向． 观察图中的波可以发现， 沿波矢方向移动 l， 相位变化为 kl， 沿垂直波矢方向移动 l， 相位不改变， 沿任意其他方向移动 l， 相位变化为 kl\cos\theta， 其中 \theta 是移动方向与 \boldsymbol{\mathbf{k}} 方向的夹角． 于是我们可以用内积来表示相位随空间的变化
\begin{align}&\Delta\varphi = \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} = k_x \Delta x + k_y \Delta y&(8)\\\end{align}
于是我们可以写出波函数为
\begin{align}&z = A \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_0\right)&(9)\\\end{align}
要表示纵波， 同样把 z 换位 \xi 即可．
类似地， 三维空间中的平面波可表示为
\begin{align}&\boldsymbol{\mathbf{s}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_0\right)&(10)\\\end{align}
其中 \boldsymbol{\mathbf{k}} 和 \boldsymbol{\mathbf{r}} 是三维矢量． 注意这里的 \boldsymbol{\mathbf{r}} 表示介质静止时某质点的位矢． 如果波函数表示横波， 矢量振幅 \boldsymbol{\mathbf{A}} 必须垂直于波矢 \boldsymbol{\mathbf{k}}， 其方向叫做极化方向． 如果波函数表示纵波， \boldsymbol{\mathbf{A}} 必须与 \boldsymbol{\mathbf{k}} 同向．
波函数的复数表示
预备知识 振动的指数形式
用复数表示波函数，往往可以化简书写和计算． 类比式 3 ， 我们可以把平面波表示为指数形式4
\begin{align}&\tilde { \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \boldsymbol{\mathbf{A}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_0)}&(11)\\\end{align}
注意只有实部表示质点的位移， 虚部无物理意义．
<hr/> 1. 需要注意的是，图中的横轴是位置 x 而不是时间 t， 要避免将质点振动的位移—时间图与该图混淆．
2. 不是时间周期而是空间周期
3. 由于余弦函数是偶函数， 我们不妨将 \cos 的自变量取相反数使 \omega t 的符号为正．
4. 现在我们知道为什么振动的指数形式中 \omega t 要带一个负号了， 这样就可以让波动的指数形式中 \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} 项为正． |
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发表于 2022-12-10 19:28:03