平面向量基本概念及其线性运算，初学复习两相宜

方脑壳

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同学们，好久不见，大家还好吗？

        今天我们就平面向量来说说，平面向量类似于三角函数是一个工具，这是大家需要明确的一个概念。首先提纲挈领，我们从三个维度来分析平面向量方面的知识框架以及学习方法；



第一、知识梳理
（1）平面向量
我们知道既有大小又有方向的量，称之为向量；用有向线段来表示，字母表示为：



向量的模即向量的大小



（2）常用向量

零向量—单位向量—相等向量—平行向量
长度为零或者模为0的向量称之为零向量；
长度等于1个单位长度的向量称之为单位向量；
长度相等且方向相同的向量称之为相等向量；
方向相同或者相反的向量称之为平行向量；
注意：零向量与任一向量平行。
（3）线性运算




向量加法：
求两个向量和的运算，叫做向量的加法。









向量减法：







数乘运算：






平面向量共线定理：



       以上就是平面向量的基本知识点梳理，通过以上梳理，相信大家对整个章节的框架有所认知；下面我们就学法方面给大家一些建议：
第二、学法指导：
依然是三个方向：概念-运算-应用
第一：概念
向量的表示及相等向量

我们知道用有向线段表示向量，这里有几个点需要注意：
1、向量与有向线段的起点位置没有关系，用有向线段表示向量的时候，起点可以任意选取；
2、同向且等长的有向线段都表示同一向量。
3、两个向量只有当他们的模相等，方向又相同的时候，才相等。

4、任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且和有向线段的起点无关，也可以理解为：相等向量经过平移总可以重合。
平行向量
1、方向相同或者相反，用有向线段表示时，所在直线重合或者平行；
2、两个向量均为非零向量；
3、零向量与任何向量平行；
4、平行向量也叫共线向量；
5、平行向量不一定是相等向量，但是相等向量一定是平行向量；
6、向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合；
7、当判断非零向量a与b是否共线时，关键是寻找a的系数λ，使得b=λa
若实系数λ有且只有一个，说明共线
若找不到满足条件的实系数，则不共线
特别地：当向量a和向量b相等且都等于0向量时，则实数λ依然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值，但不影响两者共线。
第二：运算
向量加法的两个法则
（1）三角形法则
使用三角形法则需要特别注意“首尾相接”
（2）平行四边形法则
关键步骤如下：
1、取点—取点具备任意性；
2、作相等向量—分别做与已知两个向量相等的向量，使他们的起点重合；
3、作平行四边形—以两个向量的邻边做平行四边形；
4、作和向量—与两个向量有共同起点的对角线做为和向量，共同的起点作为和向量的起点，对角线的另一端作为终点。
两个法则的区别：
1、当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则是一样的；
2、当两个向量共线时，三角形，平行四边形退化在一条直线上。
两个向量的和
1、当a，b两个向量同向时，和向量a+b与向量a或者向量b的方向一致，且模|a+b|=|a|+|b|；
2、当a，b两个向量反向，且|a|<|b|时，和向量a+b与向量b的方向相同（与向量a方向相反），且模|a+b|=|b|-|a|；
3、当a，b两个向量不共线时，和向量a+b与向量a或者向量b的方向都不同，且模|a+b|<|a|+|b|；



综上所述，两个非零向量a，b总有：|b|-|a|≤|a+b|≤|a|+|b|。
向量的减法
      关于向量的减法，定义是借助了相反向量和向量加法，其实向量的减法的实质是向量加法的逆运算，两个向量的差仍是向量。
数乘向量
1、向量数乘运算结果依然是向量；
2、实数与向量的乘积的特殊情况：
当λ=0的时候，λa=0；当λ≠0的时候，若a=0，也有λa=0；
3、实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算；
4、向量数乘的几何意义：
既可以把向量a的长度扩大（|λ|＞1），
也可以把向量a的长度缩小（|λ|＜1）；
既可以不改变向量a的方向（λ＞0）；
也可以改变向量a的方向（λ＜0）。
第三：应用
1、三点共线向量表达式



2、向量的中点公式




3、等价关系的应用
a//b(b≠0)等价于向量a，b共线等价于a=λb(b≠0)

第三、总结升华：
就平面向量而言，我们需要关注以下几个点

a）学习误区
1、忽视零向量，混淆0向量和0导致错误；
2、平行向量与相等向量理解错误；
向量平行不一定相等，向量相等一定平行
b）知能提升
1、向量三角形法则推广
2、向量是一个工具，可以用来解决平面几何相关问题
具体步骤如下：
建立平面与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化成向量问题，通过向量运算，研究几何元素中间的平行、垂直和距离、夹角等问题，把运算结果翻译成几何关系。
     以上就是平面向量基本概念及其线性运算，针对初学者以及高三备考复习的同学都是相当好的推荐，可以起到提纲挈领的作用，一起加油！








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